CF438E The Child and Binary Tree

发表于

闲扯

之前感觉很难，但是自己推一推发现其实还好。

题面

CF438E The Child and Binary Tree

Solution

设 $F(x)$ 表示权值为 $x$ 的二叉树的个数。

设 $C(x)$ 表示是否能选择权值为 $x$ 的点。

考虑枚举根结点的权值和左右子树的权值。

设 $G(x)=\sum_{i=0}^x F(i)\cdot F(x-i)$ 。

则 $F(x)=\sum_{i=0}^xC(i)\cdot G(x-i)$ 。

第一个式子加一是因为 $F(0)=1$ ，而 $C(0)=0$ 。

然后可以得到：

解方程，可以得到：

经过测试可得（大雾，上面应该取负号。

于是可以得到：

然后多项式开根和多项式求逆预处理就行。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res;
}
const int MAXN = 4e5+5,mod = 998244353,g = 3,ig = 332748118,inv2 = 499122177;
int n,m,a[MAXN],b[MAXN],A[MAXN],B[MAXN],C[MAXN],D[MAXN],rev[MAXN];
il NTT(int lim,int *a,int ty){
	for(ri i=0;i<lim;++i) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(ri md=1;md<lim;md<<=1){
		int w_n=qpow(ty==1?g:ig,(mod-1)/(md<<1),mod);
		for(ri r=md<<1,j=0;j<lim;j+=r){
			int w=1;
			for(ri k=0;k<md;++k){
				int x=a[j+k],y=1ll*w*a[j+md+k]%mod;
				a[j+k]=(x+y)%mod,a[j+md+k]=(x+mod-y)%mod;
				w=1ll*w*w_n%mod;
			}
		}
	}
	if(ty==-1){
		int inv=qpow(lim,mod-2,mod);
		for(ri i=0;i<lim;++i) a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
	}
}
il Get_Inv(int n,int *a,int *b){
	b[0]=qpow(a[0],mod-2,mod);
	int len,lim;
	for(len=1;len<(n<<1);len<<=1){
		lim=len<<1;
		for(ri i=0;i<len;++i) C[i]=a[i],D[i]=b[i];
		for(ri i=0;i<lim;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?len:0);
		NTT(lim,C,1),NTT(lim,D,1);
		for(ri i=0;i<lim;++i) b[i]=((2ll-1ll*C[i]*D[i]%mod)*D[i]%mod+mod)%mod;
		NTT(lim,b,-1);
		for(ri i=len;i<lim;++i) b[i]=0;
	}
	for(ri i=0;i<len;++i) C[i]=D[i]=0;
	for(ri i=n;i<len;++i) b[i]=0;
}
il Get_Sqr(int n,int *a,int *b){
	b[0]=1;
	int len,lim;
	for(len=1;len<(n<<1);len<<=1){
		lim=len<<1;
		for(ri i=0;i<len;++i) A[i]=a[i];
		Get_Inv(lim>>1,b,B);
		for(ri i=0;i<lim;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?len:0);
		NTT(lim,A,1),NTT(lim,B,1);
		for(ri i=0;i<lim;++i) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
		NTT(lim,A,-1);
		for(ri i=0;i<len;++i) b[i]=1ll*(b[i]+A[i])%mod*inv2%mod;
		for(ri i=len;i<lim;++i) b[i]=0;
	}
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(m);
	for(ri i=1;i<=n;++i){
		int x;read(x);
		a[x]=1;
	}
	for(ri i=0;i<=m;++i)
		if(a[i]==1) a[i]=mod-4*a[i];
	a[0]=1;
	Get_Sqr(m+1,a,b);
	b[0]+=1;
	Get_Inv(m+1,b,a);
	for(ri i=1;i<=m;++i)
		print(2ll*a[i]%mod),puts("");
	return 0;
}