CF1167F Scalar Queries

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闲扯

这道题挺妙的。

题面

CF1167F Scalar Queries

Solution

这道题直接模拟肯定是不行的，我们考虑换个思路。

我们统计对于每一个 $a_i$ ，它被计算了几次。

排序后，假如 $a_i$ 处于第 $k$ 个，那么它就会被多算 $k-1$ 次。那么相当于在这个区间中每一个比 $a_i$ 小的数都会使 $a_i$ 多算一次。

那么我们只需要统计每一个比 $a_i$ 小的数能在多少个区间里面被包含即可。

  1. 若 $a_j<a_i,j<i$ ，则同时包含 $a_i,a_j$ 的区间有 $j\cdot (n-i+1)$ 个，那么 $a_i$ 就会被多算 $j\cdot (n-i+1)$ 次。
  2. 若 $a_ji$ ，则同时包含 $a_i,a_j$ 的区间有 $i\cdot(n-j+1)$ 个，那么 $a_i$ 就会被多算 $i\cdot(n-j+1)$ 次。

我们按照权值大小对 $a$ 数组排序，然后依次插入，统计两种情况的答案即可。

对于权值相等的，插入顺序是不会影响答案的，简单推一下即可。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x%mod;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res%mod;
}
const int MAXN = 5e5+5,mod = 1e9+7;
int n,ans;
it add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
it mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
struct Node{
	int val,pos;
	bool operator <(const Node &t) const{
		return val<t.val;
	}
}node[MAXN];
#define lc (cur<<1)
#define rc (cur<<1|1)
struct Seg_Tree{
	int sum1,sum2;
}T[MAXN<<2];
il pushup(int cur){T[cur].sum1=add(T[lc].sum1,T[rc].sum1),T[cur].sum2=add(T[lc].sum2,T[rc].sum2);}
il updata(int cur,int l,int r,int pos){
	if(l==r) return T[cur].sum1=pos,T[cur].sum2=n-pos+1,void();
	if(mid>=pos) updata(lc,l,mid,pos);
	else updata(rc,mid+1,r,pos);
	pushup(cur);
}
it query1(int cur,int l,int r,int L,int R){
	if(l>=L&&r<=R) return T[cur].sum1;
	ri res=0;
	if(mid>=L) res=add(res,query1(lc,l,mid,L,R));
	if(R>mid) res=add(res,query1(rc,mid+1,r,L,R));
	return res;
}
it query2(int cur,int l,int r,int L,int R){
	if(l>=L&&r<=R) return T[cur].sum2;
	ri res=0;
	if(mid>=L) res=add(res,query2(lc,l,mid,L,R));
	if(R>mid) res=add(res,query2(rc,mid+1,r,L,R));
	return res;
}

int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n);
	for(ri i=1;i<=n;++i) read(node[i].val),node[i].pos=i;
	sort(node+1,node+1+n);
	for(ri i=1;i<=n;++i){
		if(node[i].pos!=1) ans=add(ans,mul(mul(query1(1,1,n,1,node[i].pos-1),n-node[i].pos+1),node[i].val));
		if(node[i].pos!=n) ans=add(ans,mul(mul(query2(1,1,n,node[i].pos+1,n),node[i].pos),node[i].val));
		updata(1,1,n,node[i].pos);
		ans=add(ans,mul(node[i].val,mul(node[i].pos,n-node[i].pos+1)));
	}
	print(ans);
	return 0;
}

总结

要抓住问题的本质，善于将问题转换成容易求解的形式。