P1613 跑路

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闲扯

一年前刚学倍增的时候老师给的训练题，一直没做，过来填坑了。

题面

P1613 跑路

Solution

因为每秒能跑的长度为 $2^k$ ，所以对于一对 $u,v$ ，如果它们之间的距离能用 $2^k$ 表示出来，那么我们就可以从 $u$ 向 $v$ 连一条长度为 $1$ 的边。

而这个问题的形式恰好是倍增能够解决的，所以我们直接用 $mp_{i,j,k}$ 表示从 $i$ 向 $j$ 的路径长度能否用 $2^k$ 表示，然后结合一下 $Floyd$ 的写法，得到所有的 $mp_{i,j,k}$ ，如果 $mp_{i,j,k}=1$ ，那么我们就从 $i$ 向 $j$ 连一条权值为 $1$ 的边，然后 $Floyd$ 跑最短路即可。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x%mod;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res%mod;
}
const int MAXN = 55; 
int mp[MAXN][MAXN][MAXN],dis[MAXN][MAXN],n,m,u,v;
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(m),del(dis,0x3f);
	for(ri i=1;i<=m;++i){
		read(u),read(v);
		mp[u][v][0]=1,dis[u][v]=1;
	}
	for(ri t=1;t<32;++t)
		for(ri i=1;i<=n;++i)
			for(ri k=1;k<=n;++k)
				for(ri j=1;j<=n;++j)
					if(mp[i][k][t-1]&&mp[k][j][t-1])
						mp[i][j][t]=1,dis[i][j]=1;
	for(ri k=1;k<=n;++k)
		for(ri i=1;i<=n;++i)
			for(ri j=1;j<=n;++j)
				if(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])
					dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
	print(dis[1][n]);
	return 0;
}

总结

这道题有 $2^k$ 这种很好的形式，考虑到倍增就是以其为基础的，巧妙的运用倍增来解题。