P4198 楼房重建

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闲扯

这题的题面有问题。

题面

P4198 楼房重建

Solution

这道题我们不需要看题面给的解释（因为有问题），只需要用我们的生活常识来判断就行。

我们能看到一栋楼，当且仅当这栋楼最高点与原点的连线没有经过任意一个在它前面的楼。（交于一点也不行，相似三角形搞一搞就可以看出）

我们将每一栋楼的权值定义为最高点与原点的连线的斜率，那么我们需要维护的是以第一栋楼为起点的不下降的子序列的长度。（可以证明这是唯一的）

单点修改肯定是没有什么问题的，我们需要解决的问题是如何维护这个长度。

对于一个区间，我们一定是以它的最左边的楼为起点。

当两个区间合并时，左区间的答案显然是不会变的，而右区间我们需要找到第一个大于左区间的最大值的点，然后以这个点为起点，将剩下的连上。

所以我们只需要找到这个点的位置就行。

我们可以二分一下。

定义 $get(x,k)$ 表示 $x$ 代表的区间里，第一个大于 $k$ 的位置开始的序列的长度。

  1. 如果左区间的最大值大于 $k$ ，我们就找左区间，右区间的所有用到了的肯定会对答案造成 $ans_x-ans_{lc}$ 的贡献。
  2. 如果左区间的最大值不大于 $k$ ，我们就找右区间。
  3. 如果当前区间的最大值都不大于 $k$ ，直接返回 $0$ ，表示找不到。

这样我们就可以解决合并的问题了，直接上线段树即可。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x%mod;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res%mod;
}
const int MAXN = 1e5+5;
int n,m,x,y;
#define lc (cur<<1)
#define rc (cur<<1|1)
struct Seg_Tree{
	double mx;
	int len;
}T[MAXN<<2];
it get(int cur,int l,int r,double k){
	if(T[cur].mx<=k) return 0;
	if(l==r) return (T[cur].mx>k);
	if(T[lc].mx<=k) return get(rc,mid+1,r,k);
	return get(lc,l,mid,k)+T[cur].len-T[lc].len;
}
il pushup(int cur,int l,int r){
	T[cur].len=T[lc].len+get(rc,mid+1,r,T[lc].mx);
	T[cur].mx=max(T[lc].mx,T[rc].mx);
}
il updata(int cur,int l,int r,int pos,double k){
	if(l==r) return T[cur].mx=1.*k/pos,T[cur].len=1,void();
	if(mid>=pos) updata(lc,l,mid,pos,k);
	else updata(rc,mid+1,r,pos,k);
	pushup(cur,l,r);
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(m);
	for(ri i=1;i<=m;++i){
		read(x),read(y);
		updata(1,1,n,x,y);
		print(T[1].len),puts("");
	}
	return 0;
}

总结

据说是一个经典模型，叫李超树。然而网上的李超树全是维护线段、直线的？

老师表示：这不是以讹传讹吗！