Problem 409 Nim Extreme

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好奇妙的一道计数题。

题面

Nim Extreme

Solution

我们知道 $Nim$ 游戏的先手必胜策略是所有数的异或非 $0$ 。

但是我们要计算非 $0$ 的方案数显然很困难，我们考虑算出所有为 $0$ 的方案数，然后用总方案数减去 $0$ 的方案数来得到我们合法的方案数。

我们设 $dp_i$ 表示放了前 $i$ 堆，所有数异或为 $0$ 的方案数。

因为我们只能选择 $[1,2^n-1]$ 中的数，所以我们有 $dp_0=1,dp_1=0$ 。

考虑转移。

我们可以让前 $i-1$ 个数任选，然后在第 $i$ 个数来进行调整，使得前 $i$ 个数的异或和为 $0$ 。

显然，前 $i-1$ 个数的异或结果有 $\prod_{i=1}^{i-1}2^n-i$ 种。

我们考虑容斥，减去不和法的情况来得到相应的方案数。

  1. 前 $i-1$ 个数的异或和刚好为 $0$ ，因为我们只能选择正整数，所以不能通过选 $0$ 来使前 $i$ 个数的异或和变为 $0$ 。这时的方案数为 $dp_{i-1}$ 。
  2. 因为我们还有一个限制：不能选择相同的元素，所以我们考虑在其中 $i-2$ 个数的异或和已经为 $0$ 的情况下，我们无论这 $i-1$ 个数中还剩哪一个，我们只能选择一个和它相同的数来使得异或和为 $0$ 。这显然是不合法的。这样做的方案数是 $dp_{i-2}\cdot(i-1)\cdot(2^n-i+1)$ 。（ $2^n-i+1$ 是第 $i-1$ 个数能选择的值， $i-1$ 表示剩下的一个数可能放的位置）

然后最后容斥一下即可得到答案。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x%mod;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res%mod;
}
const int MAXN = 1e7+5,mod = 1e9+7;
int n,f[MAXN],m,s=1;
it add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
it mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),f[0]=1,m=qpow(2,n,mod);
	for(ri i=2;i<=n;++i){
		s=mul(s,add(m+1,mod-i));
		f[i]=add(s,add(mod-f[i-1],mod-mul(f[i-2],mul(i-1,add(m+1,mod-i)))));
	}
	s=mul(s,add(m,mod-n));
	print(add(s,mod-f[n]));
	return 0;
}