P4550 收集邮票

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闲扯

题解真的看不懂，还是毕老爷讲的好。

题面

P4550 收集邮票

Solution

我们设 $f_i$ 表示取到了 $i$ 种不同的邮票的期望步数。

我们考虑怎么从 $f_{i-1}$ 转移过来。

因为当前已经有了 $i-1$ 个，所以取到一个新的邮票的期望步数为 $\frac{n}{n-i+1}$ 。

所以我们有 $f_i=f_{i-1}+\frac{n}{n-i+1}$ 。

我们设 $g_i$ 表示取到了 $i$ 种不同的邮票的期望钱数。

考虑怎么从 $g_{i-1}$ 转移过来。

我们先假设当前的钱数从 $1$ 开始，那么我们需要的钱数的期望为：

这表示的是第一次取到新的期望钱数。（这一轮一定能取到的概率（就是前面的 $k-1$ 次都没拿到的概率）乘上这一轮的钱数，即 $\frac{(i-1)^{k-1}}{n^{k-1}}\cdot k$ ）

但是我们实际上的钱数是从 $f_{i-1}+1$ 开始的，所以我们还要在答案中加上 $f_{i-1}\cdot\frac{n}{n-i+1}$ 。

所以最后 $g_i=g_{i-1}+f_{i-1}\cdot\frac{n}{n-i+1}+\frac{n^2}{(n-i+1)^2}=g_{i-1}+f
_i\cdot\frac{n}{n-i+1}$ 。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x%mod;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res%mod;
}
const int MAXN = 1e4+5;
int n;
double f[MAXN],g[MAXN];
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n);
	for(ri i=1;i<=n;++i){
		f[i]=f[i-1]+1.*n/(n-i+1);
		g[i]=g[i-1]+f[i]*1.*n/(n-i+1);
	}
	printf("%.2f",g[n]);
	return 0;
}