P5081 Tweetuzki 爱取球

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闲扯

这是一个基础的概率题，用到了一个很好用的结论，一定要记住。

题面

P5081 Tweetuzki 爱取球

Solution

我们有这样一个结论：如果一个事件有 $p$ 的概率成功，如果成功立即停止，否则一直重复，那么这个事件成功的期望次数是 $\frac{1}{p}$ 。

有了这个之后，我们即可轻松的解决该题。

我们设 $dp_i$ 表示遍历 $i$ 个的期望步数。

那么我们有 $dp_i=dp_{i-1}+\frac{n}{n-i+1}$ 。

表示我们当前已经取了 $i-1$ 个球，那么我们取出一个新球的概率是 $\frac{n-i+1}{n}$ 。由于满足上面的条件，那么我们可以知道成功取出第 $i$ 个球的期望步数为 $\frac{n}{n-i+1}$ 。

所以我们通过递推即可的值最终的答案就是 $n\cdot\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}$ 。

由于要取模，所以我们相当于是求 $1\sim n$ 的逆元的和，线性求一下即可。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x%mod;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res%mod;
}
const int MAXN = 1e7+5,mod = 20040313;
int n,ans=1,inv[MAXN];
it add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
it mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),inv[1]=1;
	for(ri i=2;i<=n;++i) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]),ans=add(ans,inv[i]);
	print(mul(ans,n));
	return 0;
}