Problem 675 2ω(n)

发表于

闲扯

感觉很有意义的一道题，最主要的是关于 $S(n)$ 的计算方式，很值得借鉴。

题面

2ω(n)

Solution

我们先看 $S(n)$ 怎么计算。

首先，我们有 $S(n)=\sum_{d|n}2^{\omega(d)}$ ，其中 $\omega(n)$ 。

我们如果直接按照这个来写，显然是对每一个 $S(n)$ 的计算都是 $O(\sqrt{n})$ 的，但是我们的 $n$ 是阶乘，而且有 $10^7$ 这么大，很显然不可做。

考虑改变一下计算式。

事实上， $S(n)$ 还有如下的计算方法。

设 $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ ，那么我们有 $S(n)=(2a_1+1)(2a_2+1)\cdots(2a_k+1)$ 。

这是什么意思呢？

考虑一个正整数约数之和的计算，我们有 $S=(1+p_1+p_1^2+\cdots p_1^{a_1})\cdots(1+p_k+p_k^2+\cdots p_k^{a_k})$ 。

这个式子拆开实际上是包含了所有的 $n$ 的约数的。

同理，我们将每一个质因子分开看。

假设我们包含 $p^k$ ，其中 $p$ 是一个质数。

那么对于每一个 $p_s,s\in[0,k]$ ，它们的代价分别是 $1,2,2,2,\cdots,2$ 。

那么我们像上面一样将它们乘起来，就得到了上面关于 $S(n)$ 的计算式。

因为每次会在原来的基础上多乘一个 $i$ ，我们可以先预处理出每一个数的最大质因子，然后在之前的基础上调整即可得到答案。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x%mod;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res%mod;
}
const int MAXN = 1e7+5,mod = 1e9+87;
int n,ans=1,sum,v[MAXN],cnt[MAXN];
it add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
it mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n);
	for(ri i=2;i<=n;++i){
		if(v[i]) continue;
		for(ri j=i;j<=n;j+=i)
			v[j]=i;
	}
	for(ri i=2;i<=n;++i){
		ri t=i;
		while(t>1){
			ans=mul(ans,qpow(cnt[v[t]]*2+1,mod-2,mod));
			++cnt[v[t]];
			ans=mul(ans,cnt[v[t]]*2+1);
			t/=v[t];
		}
		sum=add(sum,ans);
	}
	print(sum);
	return 0;
}