NewCoder 小球碰撞

发表于

闲扯

感觉还是挺不错的一道题，在预处理上需要用到一些小技巧。

题面

小球碰撞

Solution

考虑用期望的定义式来计算。

$E(L,R)=\sum_{i=1}^{inf}i\cdot P_i$ 。

其中 $P_i$ 表示跳 $i$ 步之后超过 $R$ 的概率。

很简单的，我们可以推出 $P_i=\frac{\frac{R}{2i-1}-\frac{R}{2i+1}}{R-L}$ 。

其中，当 $\frac{R}{2i+1}<=L$ 时，结束，同时这一段要单独考虑长度。

我们将整个式子写下来，可以得到这样一个东西：

因为数据范围比较大，我们考虑预处理出 $\sum_{i=1}^k\frac{1}{2i-1}$ 。

但是因为要取模，我们可以考虑先不约分，算出分子和分母，然后计算的时候再计算具体值。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x%mod;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res%mod;
}
const int MAXN = 1e7+5,mod = 998244353;
int n,x,y,inv[MAXN],sum[MAXN],dv[MAXN];
it add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
it mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
inl bool check(int lim){
	if(y>=1ll*x*(lim*2+1)) return true;
	return false;
}
il init(){
	inv[1]=sum[1]=dv[1]=1;
	for(ri i=2;i<MAXN;++i) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
	for(ri i=2;2*i<MAXN;++i) sum[i]=mul(sum[i-1],2*i-1),sum[i]=add(sum[i],dv[i-1]),dv[i]=mul(dv[i-1],2*i-1);
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),init();
	for(ri i=1;i<=n;++i){
		read(x),read(y);
		ri l=0,r=1e7;
		while(l<r){
			if(check(mid+1)) l=mid+1;
			else r=mid;
		}
		ri up=sum[l+1],down=dv[l+1];
		up=add(mul(up,y),mod-mul(down,mul(x,l+1)));
		down=mul(down,y);
		ri ans=mul(up,qpow(down,mod-2,mod));
		ans=mul(ans,mul(y,inv[y-x]));
		print(ans),puts("");
	}
	return 0;
}