CF1265E Beautiful Mirrors

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期望经典模型？

题面

CF1265E Beautiful Mirrors

Solution

我们设 $E(i)$ 表示询问当前在询问第 $i$ 面镜子，离终止的期望天数，那么答案就是 $E(1)$ 。

我们将终止条件转化为问到第 $n+1$ 面镜子，无论回答是什么都结束。那么我们有 $E(n+1)=0$ 。

我们有如下转移方程：

然后我们有一个经典操作：设 $E(i)=k\cdot E(1)+b$ ，通过递推求出 $E(n+1)$ 的 $k,b$，然后解出 $E(1)$ 。

移项化简可得：

也就是 $k_{i+1}=\frac{100k_i+p_i-100}{p_i},b_{i+1}=\frac{100b_i-100}{p_i}$ 。

然后解方程 $k_{n+1}E(1)+b_{n+1}=0$ 即可。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res;
}
const int MAXN = 2e5+5,mod = 998244353;
int n,p[MAXN],inv[105],k=1,b,ans;
it add(int x,int y){
	return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
it mul(int x,int y){
	return 1ll*x*y%mod;
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n);
	for(ri i=1;i<=n;++i)
		read(p[i]);
	inv[1]=1;
	for(ri i=2;i<=100;++i)
		inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
	for(ri i=1;i<=n;++i){
		k=mul(add(mul(100,k),add(p[i],mod-100)),inv[p[i]]);
		b=mul(add(mul(100,b),mod-100),inv[p[i]]);
	}
	b=mod-b;
	ans=mul(b,qpow(k,mod-2,mod));
	print(ans);
	return 0;
}