「SHOI2017」组合数问题

发表于

闲扯

矩阵乘法练习题。

题面

「SHOI2017」组合数问题

Solution

问题是求 $\sum_{i=0}^{\infty}\binom{nk}{ik+r}$ 。

可以发现 $ik+r\equiv r\ (mod\ k)$ ，所以问题等价于求从 $nk$ 个物品中选择 $m$ 个物品的方案数，其中 $m\equiv r\ (mod\ k)$ 。

我们设 $dp_{i,j}$ 表示考虑前 $i$ 个物品， 其中选择的物品个数模 $k$ 为 $j$ 时的方案数，其中 $dp_{0,0}=1$ 。

转移方程为 $dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+dp_{i-1,j-1}$ ，其中 $j-1$ 对 $k$ 取模。

因为 $nk\leq 5\cdot 10^{10}$ ，而且该式子为线性递推，所以直接上矩阵快速幂即可。

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res;
}
const int N = 55;
int n,mod,m,x;
it add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
it mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
il inc(int &x,int y){x=add(x,y);}
struct Matrix{
	int val[N][N];
	Matrix(){del(val,0);}
	int *operator [](int x){return val[x];}
	Matrix operator * (Matrix t){
		Matrix res;
		for(ri i=0;i<m;++i)
			for(ri k=0;k<m;++k)
				for(ri j=0;j<m;++j)
					inc(res[i][j],mul(val[i][k],t[k][j]));
		return res;
	}
}bas,ans;
il Init(){
	ans[0][0]=1;
	bas[0][0]+=1,bas[0][m-1]+=1;
	for(ri i=1;i<m;++i)
		bas[i][i]=bas[i][i-1]=1;
}
it Matrix_Qpow(ll k){
	while(k){
		if(k&1) ans=bas*ans;
		bas=bas*bas,k>>=1;
	}
	return ans[x][0];
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(mod),read(m),read(x);
	Init();
	print(Matrix_Qpow(1ll*n*m));
	return 0;
}